Très bien — voici l’équation faiblogravitationnelle complète (gravité linéarisée, avec les définitions, jauge, solutions et quantités physiques importantes). J’ai mis les facteurs ccc explicites ; si tu préfères les unités géométrisées (c=1)(c=1)(c=1), dis-le et j’enlève les ccc.
1) Point de départ — action d’Einstein + matière
S=c316πG∫d4x −g R+Smatter[g,Ψ]S=\frac{c^3}{16\pi G}\int d^4x,\sqrt{-g},R + S_{\rm matter}[g,\Psi]S=16πGc3∫d4x−gR+Smatter[g,Ψ]
On pose une petite perturbation autour de la Minkowski plate :
gμν=ημν+hμν,∣hμν∣≪1.g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},\qquad |h_{\mu\nu}|\ll 1.gμν=ημν+hμν,∣hμν∣≪1.
2) Définition trace-renversée et jauge de de Donder
Définis la trace hhh et la trace-renversée hˉμν\bar h_{\mu\nu}hˉμν :
h≡ηαβhαβ,hˉμν≡hμν−12 ημνh.h \equiv \eta^{\alpha\beta}h_{\alpha\beta},\qquad \bar h_{\mu\nu}\equiv h_{\mu\nu}-\tfrac12,\eta_{\mu\nu}h .h≡ηαβhαβ,hˉμν≡hμν−21ημνh.
La jauge de de Donder (ou Hilbert) impose :
∂μhˉμν=0.\partial^\mu \bar h_{\mu\nu}=0.∂μhˉμν=0.
La transformation de jauge linéaire est
δhμν=∂μξν+∂νξμ,\delta h_{\mu\nu}=\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu,δhμν=∂μξν+∂νξμ,
et en trace-renversé ξμ\xi^\muξμ peut être choisi pour satisfaire ∂μhˉμν=0\partial^\mu\bar h_{\mu\nu}=0∂μhˉμν=0.
3) Équations de champ linéarisées (équation faiblogravitationnelle)
Sous la jauge de de Donder, les équations d’Einstein linéarisées deviennent une équation d’onde pour hˉμν\bar h_{\mu\nu}hˉμν :
□ hˉμν = −16πGc4 Tμν\boxed{\qquad \Box,\bar h_{\mu\nu} ;=; -\dfrac{16\pi G}{c^4};T_{\mu\nu} \qquad}□hˉμν=−c416πGTμν
où □≡ηαβ∂α∂β=−1c2∂t2+∇2\Box\equiv \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\partial_\beta = -\frac{1}{c^2}\partial_t^2+\nabla^2□≡ηαβ∂α∂β=−c21∂t2+∇2 et TμνT_{\mu\nu}Tμν est le tenseur énergie-impulsion de la matière dans l’approximation faible.
Compléments importants :
- Conservation de la source : ∂μTμν=0\partial^\mu T_{\mu\nu}=0∂μTμν=0 (cohérente avec ∂μhˉμν=0\partial^\mu\bar h_{\mu\nu}=0∂μhˉμν=0).
- Condition résiduelle de jauge : on peut encore effectuer ξμ\xi^\muξμ satisfaisant □ξμ=0\Box\xi^\mu=0□ξμ=0.
4) Solutions retardées (Green fonction, domaine lointain)
Solution générale (avec condition de radiations retardées) :
hˉμν(t,x) = 4Gc4∫Tμν(t−∣x−x′∣/c,x′)∣x−x′∣ d3x′.\bar h_{\mu\nu}(t,\mathbf x) ;=; \dfrac{4G}{c^4}\int \dfrac{T_{\mu\nu}\big(t-|\mathbf x-\mathbf x’|/c,\mathbf x’\big)}{|\mathbf x-\mathbf x’|},d^3x’.hˉμν(t,x)=c44G∫∣x−x′∣Tμν(t−∣x−x′∣/c,x′)d3x′.
Dans la zone lointaine r = ∣x∣≫r!=!|\mathbf x|\ggr=∣x∣≫ taille source, on obtient des ondes qui décroissent en 1/r1/r1/r.
5) Ondes gravitationnelles — composante transverse–traceless (TT)
On peut choisir la jauge transverse-traceless (TT) pour isoler les degrés physiques (polarisations) : dans cette jauge h0μTT=0h_{0\mu}^{\rm TT}=0h0μTT=0, hTT=0h^{\rm TT}=0hTT=0 et ∂ihijTT=0\partial^i h_{ij}^{\rm TT}=0∂ihijTT=0. Alors l’équation d’onde libre (Tμν=0T_{\mu\nu}=0Tμν=0) devient :
□hijTT=0\Box h_{ij}^{\rm TT}=0□hijTT=0
Solutions plane-wave :
hijTT(t,x)=∑λ=+,×∫d3k [ϵij(λ)(k^) ak,λ ei(k⋅x−ωt)+h.c.],h_{ij}^{\rm TT}(t,\mathbf x)=\sum_{\lambda=+,\times}\int d^3k\ \Big[ \epsilon_{ij}^{(\lambda)}(\hat k),a_{\mathbf k,\lambda},e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf x-\omega t)}+\text{h.c.}\Big],hijTT(t,x)=λ=+,×∑∫d3k [ϵij(λ)(k^)ak,λei(k⋅x−ωt)+h.c.],
avec ϵij(λ)\epsilon_{ij}^{(\lambda)}ϵij(λ) les deux tenseurs de polarisation (degrés physiques = 2).
6) Quantification (brève)
En quantifiant hμνh_{\mu\nu}hμν on introduit des opérateurs d’annihilation/création ak,λ,ak,λ†a_{\mathbf k,\lambda},a^\dagger_{\mathbf k,\lambda}ak,λ,ak,λ† et les états de un-graviton :
∣1k,λ⟩=ak,λ†∣0⟩.|1_{\mathbf k,\lambda}\rangle = a^\dagger_{\mathbf k,\lambda}|0\rangle.∣1k,λ⟩=ak,λ†∣0⟩.
7) Énergie transportée par les ondes (approximation d’Isaacson)
L’énergie moyenne transportée par une onde gravitationnelle s’exprime par le tenseur pseudo-énergétique effectif (moyenné sur plusieurs longueurs d’onde) :
tμνGW = c432πG ⟨∂μhijTT ∂νhijTT⟩.t_{\mu\nu}^{\rm GW} ;=; \dfrac{c^4}{32\pi G},\langle \partial_\mu h_{ij}^{\rm TT},\partial_\nu h^{\rm TT}_{ij}\rangle .tμνGW=32πGc4⟨∂μhijTT∂νhijTT⟩.
En particulier, flux d’énergie (puissance) sortant d’une source → formule quadrupôle.
8) Formule quadrupôle (rayonnement gravitationnel faible, zone lointaine)
Dans l’approximation lente (v ≪ c) et pour rrr grand :
hijTT(t,x)=2Gc4r I¨ijTT(t−rc),h_{ij}^{\rm TT}(t,\mathbf x)=\dfrac{2G}{c^4 r},\ddot{I}_{ij}^{\rm TT}\big(t-\tfrac{r}{c}\big),hijTT(t,x)=c4r2GI¨ijTT(t−cr),
où IijI_{ij}Iij est le moment quadrupolaire massique (avec conventions usuelles) et ¨\ddot{}¨ signifie dérivée seconde par rapport au temps. C’est la formule de quadrupôle (source principale des ondes gravitationnelles astrophysiques).
9) Lagrangien quadratique (optionnel, utile pour quantification)
Le Lagrangien densité effectif quadratique (dans une convention de signe donnée) s’écrit — jusqu’à une divergence totale — :
Lgrav(2) = c364πG(∂λhμν∂λhμν−2∂μhμν∂λhλν+2∂μhμν∂νh−∂λh∂λh)−12hμνTμν,\mathcal{L}{\rm grav}^{(2)} ;=; \frac{c^3}{64\pi G}\Big( \partial\lambda h_{\mu\nu}\partial^\lambda h^{\mu\nu} -2\partial_\mu h^{\mu\nu}\partial^\lambda h_{\lambda\nu} +2\partial_\mu h^{\mu\nu}\partial_\nu h -\partial_\lambda h\partial^\lambda h \Big) -\tfrac12 h^{\mu\nu}T_{\mu\nu},Lgrav(2)=64πGc3(∂λhμν∂λhμν−2∂μhμν∂λhλν+2∂μhμν∂νh−∂λh∂λh)−21hμνTμν,
qui, via variation, redonne les équations linéarisées présentées plus haut. (Les signes et facteurs dépendent de la convention; l’important est la structure cinétique et l’accouplement hμνTμνh^{\mu\nu}T_{\mu\nu}hμνTμν.)
10) Remarques finales
- Ceci est l’équation faiblogravitationnelle « complète » au sens de la théorie linéarisée (domaine des petites perturbations).
- Elle ne contient pas les non-linéarités complètes d’Einstein, qui sont nécessaires pour des champs forts (trous noirs, fusion de NS/BH, etc.).
- Dans le formalisme de Kaluza-Klein ou en supergravité, les composantes supplémentaires de la métrique produisent des mélanges champ-champ (photon, dilaton, etc.), mais la structure fondamentale ci-dessus reste la base pour les gravitons faibles.
Si tu veux, je peux maintenant :
- Dériver pas à pas la □hˉμν\Box\bar h_{\mu\nu}□hˉμν à partir de SSS (variation de l’action) ;
- Écrire explicitement la formule quadrupôle avec les facteurs exacts et la définition de IijI_{ij}Iij ;
- Montrer la décomposition en polarisations ϵij+,×\epsilon_{ij}^{+,\times}ϵij+,× pour une onde dirigée selon zzz.
Laquelle préfères-tu ?